165 Найдите:

Задание 165. Найдите:

а) \( C_3^5 \)

Это обозначение некорректно, так как нельзя выбрать 5 элементов из множества, содержащего только 3 элемента. По определению, \( k \) должно быть меньше или равно \( n \), то есть \( 5 \leq 3 \) — ложно. Если бы это была задача на биномиальные коэффициенты, то \( C_n^k = C_n^{n-k} \), но \( k \) не может быть больше \( n \).

б) \( C_5^2 \)

Это означает выбрать 2 элемента из 5.

\[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \]Ответ: 10

в) \( C_5^5 \)

Это означает выбрать 5 элементов из 5. Есть только один способ сделать это — взять все элементы.

\[ C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = \frac{1}{1} = 1 \] (Помним, что \( 0! = 1 \)).Ответ: 1

г)* \( C_{11}^3 \)

Это означает выбрать 3 элемента из 11.

\[ C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165 \]Ответ: 165

д)* \( C_{12}^6 \)

Это означает выбрать 6 элементов из 12.

\[ C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 2 \times 3 \times 2 \times 7 / (6) = 924 \]Ответ: 924

е)* \( C_{12}^8 \)

Это означает выбрать 8 элементов из 12. Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \):

\[ C_{12}^8 = C_{12}^{12-8} = C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 9 = 495 \]Ответ: 495