175 Муха ползёт по проволочной решётке из точки А в точку В (рис. 52), двигаясь всё время вправо или вниз. Сколько различных маршрутов может выбрать муха?

Задание 175. Муха ползёт по проволочной решётке из точки А в точку В (рис. 52), двигаясь всё время вправо или вниз. Сколько различных маршрутов может выбрать муха?

Эта задача сводится к подсчёту числа способов выбрать направления движения. Муха может двигаться только вправо (П) или вниз (Н). Общее количество шагов будет равно сумме шагов вправо и вниз.

а) Схема решётки: 3x3 (4x4 узла)

Рисунок показывает решётку, в которой есть 3 шага вправо и 3 шага вниз, чтобы попасть из точки А в точку В. Общее количество шагов равно 3 (вправо) + 3 (вниз) = 6 шагов.

Нам нужно выбрать 3 позиции для шагов вправо (или 3 позиции для шагов вниз) из общего количества 6 шагов.

\[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]Ответ: 20

б) Схема решётки: 4x5 (5x6 узлов)

Если предположить, что вторая схема решётки (справа) имеет 4 шага вправо и 5 шагов вниз (до точки B, если А находится в верхнем левом углу, как на рисунке), то общее количество шагов будет 4 (вправо) + 5 (вниз) = 9 шагов.

Нам нужно выбрать 4 позиции для шагов вправо (или 5 позиций для шагов вниз) из общего количества 9 шагов.

\[ C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \]Ответ: 126