165. Решите уравнение: 3) 5x+3/x+5 = 3x+1/x+2; 4) 1/x+3 - 1/x+5 = 1/4;

Решение:

3) (5x + 3) / (x + 5) = (3x + 1) / (x + 2);

1. ОДЗ: x + 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ -5; x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2.
2. Основное свойство пропорции: (5x + 3)(x + 2) = (3x + 1)(x + 5).
3. Раскрытие скобок: 5x2 + 10x + 3x + 6 = 3x2 + 15x + x + 5.
4. Приведение подобных: 5x2 + 13x + 6 = 3x2 + 16x + 5.
5. Перенос членов: 5x2 - 3x2 + 13x - 16x + 6 - 5 = 0 ⇒ 2x2 - 3x + 1 = 0.
6. Решение квадратного уравнения: Дискриминант D = (-3)2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1. Корень из дискриминанта √ D = 1.
7. Значения x:
   x1 = (3 + 1) / (2 * 2) = 4 / 4 = 1
x2 = (3 - 1) / (2 * 2) = 2 / 4 = 1/2
8. Проверка ОДЗ: Оба корня подходят.

4) 1 / (x + 3) - 1 / (x + 5) = 1 / 4;

1. ОДЗ: x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3; x + 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ -5.
2. Приведение дробей к общему знаменателю: ((x + 5) - (x + 3)) / ((x + 3)(x + 5)) = 1 / 4.
3. Упрощение числителя: (x + 5 - x - 3) / (x2 + 5x + 3x + 15) = 1 / 4 ⇒ 2 / (x2 + 8x + 15) = 1 / 4.
4. Основное свойство пропорции: 2 * 4 = 1 * (x2 + 8x + 15) ⇒ 8 = x2 + 8x + 15.
5. Перенос членов: x2 + 8x + 15 - 8 = 0 ⇒ x2 + 8x + 7 = 0.
6. Решение квадратного уравнения: Дискриминант D = 82 - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36. Корень из дискриминанта √ D = 6.
7. Значения x:
   x1 = (-8 + 6) / 2 = -2 / 2 = -1
x2 = (-8 - 6) / 2 = -14 / 2 = -7
8. Проверка ОДЗ: Оба корня подходят.

Ответ:

• 3) x = 1, x = 1/2
• 4) x = -1, x = -7