166. Решите уравнение методом замены переменной: 5) (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12; 6) (x^2 - 2x^2)^2 - 14(x^2 - 2x^2) = 15.

Решение:

5) (x² + x + 1)(x² + x + 2) = 12;

1. Замена: Пусть y = x2 + x + 1. Тогда x2 + x + 2 = y + 1. Уравнение примет вид: y(y + 1) = 12.
2. Раскрытие скобок: y2 + y = 12 ⇒ y2 + y - 12 = 0.
3. Решение квадратного уравнения: Дискриминант D = 12 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49. Корень из дискриминанта √ D = 7.
4. Значения y:
   y1 = (-1 + 7) / 2 = 3
y2 = (-1 - 7) / 2 = -4
5. Обратная замена:
   x2 + x + 1 = 3 ⇒ x2 + x - 2 = 0.
   Дискриминант D = 12 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9. Корень из дискриминанта √ D = 3.
   x1 = (-1 + 3) / 2 = 1.
   x2 = (-1 - 3) / 2 = -2.
   x2 + x + 1 = -4 ⇒ x2 + x + 5 = 0.
   Дискриминант D = 12 - 4 * 1 * 5 = 1 - 20 = -19. Действительных корней нет.

6) (x² - 2x²)² - 14(x² - 2x²) = 15.

1. Упрощение: x2 - 2x2 = -x2.
2. Замена: Пусть y = -x2. Уравнение примет вид: y2 - 14y = 15 ⇒ y2 - 14y - 15 = 0.
3. Решение квадратного уравнения: Дискриминант D = (-14)2 - 4 * 1 * (-15) = 196 + 60 = 256. Корень из дискриминанта √ D = 16.
4. Значения y:
   y1 = (14 + 16) / 2 = 15
y2 = (14 - 16) / 2 = -1
5. Обратная замена:
   -x2 = 15 ⇒ x2 = -15. Действительных корней нет.
   -x2 = -1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1.

Ответ:

• 5) x = 1, x = -2
• 6) x = ±1