1695. Масса Земли в 81 раз больше массы Луны. Центры планет Земля и Луна находятся на расстоянии приблизительно 60 земных радиусов друг от друга. На каком расстоянии от центра Земли должен находиться предмет, чтобы сила притяжения к Земле была равна силе притяжения к Луне?

Считаем, что предмет находится на прямой между центрами Земли и Луны. Обозначим через x расстояние от предмета до центра Земли. Тогда расстояние до центра Луны равно 60R − x, где R — радиус Земли.

1. По закону всемирного тяготения при равенстве сил: \(\frac{GM_{З}m}{x^2}=\frac{GM_{Л}m}{(60R-x)^2}\).
2. Сокращаем общие множители и используем \(M_{З}=81M_{Л}\): \(\frac{81}{x^2}=\frac{1}{(60R-x)^2}\).
3. Расстояния положительны, поэтому \(\frac{x}{60R-x}=9\). Отсюда \(x=9(60R-x)\), то есть \(10x=540R\).

Ответ: \(x=54R\), то есть предмет должен находиться в 54 земных радиусах от центра Земли.