17. (1 - 3 балла) Найдите точки экстремума функции f(x) = -x³ + 4x² - 4x

Решение:

Для нахождения точек экстремума функции, необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

1. Найдем производную функции \( f(x) = -x^3 + 4x^2 - 4x \):

\( f'(x) = (-x^3 + 4x^2 - 4x)' = -3x^2 + 8x - 4 \).

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

\( -3x^2 + 8x - 4 = 0 \)

Умножим на -1, чтобы сделать коэффициент при \( x^2 \) положительным:

\( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \)

Найдем дискриминант \( D \):

\( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 \).

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2 \).

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

3. Определим знаки производной на интервалах, чтобы установить, являются ли эти точки точками максимума или минимума.

Интервалы: \( (-\infty, 2/3) \), \( (2/3, 2) \), \( (2, \infty) \).

• Возьмем \( x = 0 \) (интервал \( (-\infty, 2/3) \)): \( f'(0) = -3(0)^2 + 8(0) - 4 = -4 \) (функция убывает).
• Возьмем \( x = 1 \) (интервал \( (2/3, 2) \)): \( f'(1) = -3(1)^2 + 8(1) - 4 = -3 + 8 - 4 = 1 \) (функция возрастает).
• Возьмем \( x = 3 \) (интервал \( (2, \infty) \)): \( f'(3) = -3(3)^2 + 8(3) - 4 = -3(9) + 24 - 4 = -27 + 24 - 4 = -7 \) (функция убывает).

Таким образом:

• В точке \( x = 2/3 \) функция меняет убывание на возрастание, значит, это точка минимума.
• В точке \( x = 2 \) функция меняет возрастание на убывание, значит, это точка максимума.

Ответ: Точки экстремума: \( x = 2/3 \) (минимум), \( x = 2 \) (максимум).