20. (1-3 балла) Решите уравнение: 2log₅x + 5 log₅ x + 2 = 0

Решение:

Уравнение содержит логарифмы с одинаковым основанием, поэтому мы можем объединить слагаемые.

\( 2\log_5 x + 5\log_5 x + 2 = 0 \)

Сложим логарифмические слагаемые:

\( (2+5)\log_5 x + 2 = 0 \)

\( 7\log_5 x + 2 = 0 \)

Выразим логарифм:

\( 7\log_5 x = -2 \)

\( \log_5 x = -\frac{2}{7} \)

По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \). Применим это к нашему уравнению:

\( x = 5^{-\frac{2}{7}} \).

Учтем, что область допустимых значений для логарифма \( x > 0 \). Полученное значение \( 5^{-\frac{2}{7}} \) положительно, поэтому оно является решением.

Ответ: \( x = 5^{-\frac{2}{7}} \).