17. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что \(\angle AOB = 45^\circ\). Длина меньшей дуги АВ равна 91. Найдите длину большей дуги АВ.

Длина окружности равна \( C = 2 \pi R \). Длина дуги пропорциональна центральному углу, который она опирает.

Длина меньшей дуги АВ, соответствующая центральному углу \(\angle AOB = 45^\circ\), составляет:

\( L_{меньшая} = \frac{45^\circ}{360^\circ} \cdot C = \frac{1}{8} C \)

Нам дано, что \( L_{меньшая} = 91 \).

\( 91 = \frac{1}{8} C \)

Отсюда находим длину всей окружности:

\( C = 91 \cdot 8 = 728 \)

Большая дуга АВ соответствует центральному углу \( 360^\circ - 45^\circ = 315^\circ \).

Длина большей дуги АВ равна:

\( L_{большая} = \frac{315^\circ}{360^\circ} \cdot C \)

Упростим дробь \( \frac{315}{360} \). Оба числа делятся на 45: \( 315 = 45 \cdot 7 \), \( 360 = 45 \cdot 8 \).

\( L_{большая} = \frac{7}{8} C \)

Подставляем значение \( C \):

\( L_{большая} = \frac{7}{8} \cdot 728 \)

\( L_{большая} = 7 \cdot \frac{728}{8} \)

\( L_{большая} = 7 \cdot 91 \)

\( L_{большая} = 637 \)

Альтернативный способ: Длина большей дуги равна длине всей окружности минус длина меньшей дуги.

\( L_{большая} = C - L_{меньшая} \)

\( L_{большая} = 728 - 91 = 637 \)

Ответ: 637