17. Найдите точку минимума функции $$y = 2x^3 - 6x^2$$.

Решение:

1. Чтобы найти точку минимума, найдём первую производную функции: $$y' = (2x^3 - 6x^2)' = 6x^2 - 12x$$.
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$6x^2 - 12x = 0$$.
3. Вынесем общий множитель $$6x$$: $$6x(x - 2) = 0$$.
4. Отсюда получаем две критические точки: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = 2$$.
5. Определим знак производной на интервалах.
6. Для $$x < 0$$, например $$x = -1$$: $$y' = 6(-1)^2 - 12(-1) = 6 + 12 = 18 > 0$$ (функция возрастает).
7. Для $$0 < x < 2$$, например $$x = 1$$: $$y' = 6(1)^2 - 12(1) = 6 - 12 = -6 < 0$$ (функция убывает).
8. Для $$x > 2$$, например $$x = 3$$: $$y' = 6(3)^2 - 12(3) = 54 - 36 = 18 > 0$$ (функция возрастает).
9. Точка $$x = 0$$ является точкой максимума (функция меняет возрастание на убывание).
10. Точка $$x = 2$$ является точкой минимума (функция меняет убывание на возрастание).
11. Найдем значение функции в точке минимума: $$y(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 = 2(8) - 6(4) = 16 - 24 = -8$$.

Ответ: Точка минимума имеет координаты $$(2, -8)$$.