17. Решите уравнения: а) \(2\log_3(x+1)-\log_3(3x+1)=0\); б) \(\lg(2x+1)=0.5\lg(1-3x)\).

а) Область определения: \(x+1>0\) и \(3x+1>0\), то есть \(x>-\frac13\).

Используем свойство логарифма: \(2\log_3(x+1)=\log_3((x+1)^2)\). Тогда \(\log_3\frac{(x+1)^2}{3x+1}=0\), откуда \((x+1)^2=3x+1\).

Раскрываем скобки: \(x^2-x=0\), поэтому \(x=0\) или \(x=1\). Оба значения удовлетворяют области определения.

б) Область определения требует \(2x+1>0\) и \(1-3x>0\), то есть \(-\frac12<x<\frac13\).

Умножим равенство на 2 и применим свойство логарифма: \(2\lg(2x+1)=\lg(1-3x)\), значит \((2x+1)^2=1-3x\).

Получаем \(4x^2+7x=0\), или \(x(4x+7)=0\). Корни: \(x=0\) и \(x=-\frac74\). Второй корень не входит в область определения; остаётся \(x=0\).

Ответ: а) \(x=0,\ 1\); б) \(x=0\).