17. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем количество сыра, съеденного каждой мышкой в первую ночь.
   Пусть N — количество мышек, пришедших в первую ночь. Они съели 9 головок сыра поровну. Значит, каждая мышка съела \( \frac{9}{N} \) головок сыра.
2. Шаг 2: Определяем количество сыра, съеденного каждой мышкой во вторую ночь.
   Во вторую ночь пришло 11 мышек, и каждая съела в три раза меньше сыра, чем накануне.
   Количество сыра, съеденного одной мышкой во вторую ночь: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{N} = \frac{3}{N} \) головок сыра.
3. Шаг 3: Определяем общее количество сыра, съеденного во вторую ночь.
   11 мышек съели \( 11 \cdot \frac{3}{N} = \frac{33}{N} \) головок сыра.
4. Шаг 4: Определяем количество оставшегося сыра.
   Общее количество съеденного сыра равно 9 + \( \frac{33}{N} \).
5. Шаг 5: Анализируем условие.
   Условие гласит, что во вторую ночь пришли «не все мышки», но это не дает нам прямого значения N. Важно, что 11 мышек съели «оставшийся сыр». Это означает, что весь сыр, который остался после первой ночи, был съеден во вторую ночь.
6. Шаг 6: Находим количество оставшегося сыра.
   Поскольку каждая из 11 мышек съела \( \frac{3}{N} \) головок сыра, общее количество съеденного во вторую ночь сыра равно \( 11 \cdot \frac{3}{N} = \frac{33}{N} \).
7. Шаг 7: Устанавливаем связь между первой и второй ночью.
   Из условия «каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне» следует, что количество съеденного одной мышкой во вторую ночь равно \( \frac{1}{3} \) от количества съеденного одной мышкой в первую ночь.
8. Шаг 8: Находим исходное количество сыра.
   Мы знаем, что 9 головок сыра было съедено в первую ночь. Количество сыра, съеденного во вторую ночь, равно \( \frac{33}{N} \).
   Если мы найдем N, то сможем рассчитать общее количество сыра. Однако, в условии не указано, сколько мышек пришло в первую ночь. Это ключевой момент. Если мы предположим, что 11 мышек — это ВСЕ мышки, которые пришли в первую ночь, то N = 11. Тогда:
9. Шаг 9: Предполагаем, что N = 11.
   В первую ночь 11 мышек съели 9 головок сыра. Каждая съела \( \frac{9}{11} \) головок.
   Во вторую ночь 11 мышек съели в 3 раза меньше, то есть \( \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{11} = \frac{3}{11} \) головок каждая.
   Общее количество сыра, съеденного во вторую ночь: \( 11 \cdot \frac{3}{11} = 3 \) головки сыра.
10. Шаг 10: Рассчитываем общее количество сыра.
    Общее количество сыра = Сыр, съеденный в первую ночь + Сыр, съеденный во вторую ночь.
    \[ 9 \text{ головок} + 3 \text{ головки} = 12 \text{ головок} \]
11. Проверка:
    Если было 12 головок сыра, и мышки съели 9 в первую ночь, осталось 3 головки.
    Если в первую ночь было 11 мышек, каждая съела \( 9/11 \) головки.
    Во вторую ночь 11 мышек съели 3 головки. Каждая съела \( 3/11 \) головки, что в 3 раза меньше, чем \( 9/11 \). Условие выполняется.

Ответ: 12 головок сыра