17 В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA = 14° и ∠BDC=106°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Так как \( AB = CD \), трапеция \( ABCD \) является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, и диагонали равны.
2. Нам дано \( \angle BDA = 14° \) и \( \angle BDC = 106° \).
3. Угол \( \angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 14° + 106° = 120° \).
4. В равнобедренной трапеции углы при основании \( AD \) равны, значит, \( \angle BAD = \angle ADC = 120° \). Это противоречит тому, что \( \angle ADC \) является тупым углом основания, а \( \angle BAD \) острым. Следовательно, \( \angle ADC \) является углом при основании \( BC \).
5. Поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании \( AD \) равны, то есть \( \angle DAB = \angle CDA \). Это также неверно, так как \( \angle CDA \) тупой, а \( \angle DAB \) должен быть острым.
6. Давайте переосмыслим. \( \angle BDC = 106° \). Это тупой угол. Значит, \( CD \) и \( BC \) являются боковыми сторонами, а \( AD \) и \( BC \) — основаниями.
7. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. \( \angle DAB = \angle CDA \) и \( \angle ABC = \angle BCD \).
8. \( \angle ADC = 120° \). Тогда \( \angle DAB = 120° \). Это невозможно для трапеции, где \( AD \) и \( BC \) параллельны.
9. Вернемся к условию: \( AB = CD \) - боковые стороны равны, значит, трапеция равнобедренная.
10. \( \angle BDC = 106° \). Это угол между диагональю \( BD \) и боковой стороной \( CD \).
11. \( \angle ADC \) — угол при основании.
12. В равнобедренной трапеции диагонали равны, \( AC = BD \).
13. Рассмотрим \( \triangle BCD \). Сумма углов равна 180°. \( \angle CBD + \angle BDC + \angle BCD = 180° \).
14. \( \angle BCD \) — угол при основании \( BC \).
15. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, и углы при другом основании равны.
16. Из \( \angle BDC = 106° \) следует, что \( \angle ADC < 106° \) (так как \( \angle BDA = 14° \)).
17. Значит, \( \angle ADC \) — это угол при основании \( AD \).
18. \( \angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 14° + 106° = 120° \).
19. Значит, \( \angle DAB = \angle ADC = 120° \). Это означает, что \( AD \) и \( BC \) не могут быть основаниями, т.к. углы при основании должны быть острыми или прямыми, кроме случая параллелограмма.
20. Перечитаем условие. \( AB = CD \) - равнобедренная трапеция. \( \angle BDA = 14° \), \( \angle BDC = 106° \).
21. \( \angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 14° + 106° = 120° \). Этот угол является углом трапеции.
22. Так как \( AD \) и \( BC \) параллельны, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. \( \angle ADC + \angle DCB = 180° \).
23. \( 120° + \angle DCB = 180° \) \( \angle DCB = 60° \).
24. Так как трапеция равнобедренная, \( \angle ABC = \angle DCB = 60° \) и \( \angle BAD = \angle ADC = 120° \). Но это уже было сказано.
25. Рассмотрим \( \triangle BCD \). \( \angle BDC = 106° \), \( \angle DCB = 60° \).
26. \( \angle CBD = 180° - 106° - 60° = 14° \).
27. Теперь мы знаем \( \angle CBD = 14° \).
28. Угол \( \angle ABC = 60° \).
29. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \).
30. \( 60° = \angle ABD + 14° \).
31. \( \angle ABD = 60° - 14° = 46° \).

Ответ: 46