173. На серединном перпендикуляре стороны АВ треугольника АВС отмечена такая точка О, что ∠ОАС = ∠ОСА. Докажите, что точка О — центр описанной около треугольника АВС.

1. Серединный перпендикуляр к стороне АВ состоит из точек, равноудаленных от А и В. Следовательно, ОА = ОВ.

2. В треугольнике АВС ОА = ОВ, значит, он равнобедренный. Углы при основании равны: ∠ОАС = ∠ОСА.

3. Так как ОА = ОВ, точка О равноудалена от вершин А и В. Условие ∠ОАС = ∠ОСА означает, что О лежит на биссектрисе угла С, но это не гарантирует, что О - центр описанной окружности. Однако, если ОА = ОВ, то О лежит на серединном перпендикуляре к АВ. Если ∠ОАС = ∠ОСА, то треугольник АОС равнобедренный с ОА = ОС. Следовательно, ОА = ОВ = ОС, что означает, что О является центром описанной окружности.