177. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, проведена касательная, пересекающая боковые стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно. Найдите периметр треугольника CDE, если периметр треугольника АВС равен 20 см и AB = 6 см

1. Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 20 см, основание AB = 6 см. Следовательно, сумма боковых сторон AC + BC = 20 - 6 = 14 см. Так как треугольник равнобедренный, AC = BC = 14 / 2 = 7 см.

2. Пусть точка касания вписанной окружности с основанием AB - точка K. Тогда AK = KB = 6/2 = 3 см.

3. Пусть касательная DE параллельна AB. Тогда треугольник CDE подобен треугольнику CAB.

4. Радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике равен $$r = rac{S}{p}$$, где $$S$$ - площадь, $$p$$ - полупериметр. Высота $$h = rac{AC^2 - (AB/2)^2}{h} = rac{7^2 - 3^2}{h} = rac{49-9}{h} = rac{40}{h}$$. $$h^2 = 40$$, $$h = rac{2 ext{S}}{AB}$$. $$S = rac{1}{2} imes 6 imes h = 3h$$. $$p = 10$$. $$r = rac{3h}{10}$$.

5. Если касательная DE параллельна AB, то отношение высот треугольников CDE и CAB равно отношению радиусов вписанных окружностей. Высота треугольника CDE равна $$h_{CDE} = h - 2r$$. Отношение подобия $$k = rac{h_{CDE}}{h} = rac{h-2r}{h} = 1 - rac{2r}{h} = 1 - rac{2(3h/10)}{h} = 1 - rac{6h/10}{h} = 1 - 0.6 = 0.4$$. Периметр треугольника CDE равен $$0.4 imes 20 = 8$$ см.