178. Докажите, что если $\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{x_3}=\frac{x_3}{x_4}$, то: а) $\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}=\frac{x_1}{x_2}$; б) $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}\right)^3=\frac{x_1}{x_4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 178. Докажите, что если $\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{x_3}=\frac{x_3}{x_4}$, то: а)…$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим общее значение отношений через $q$. Тогда $x_1=qx_2$, $x_2=qx_3$, $x_3=qx_4$. Следовательно, $x_1=q^3x_4$, $x_2=q^2x_4$, $x_3=qx_4$.

а) Подставим эти равенства в левую часть:

$\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}=\frac{(q^3+q^2+q)x_4}{(q^2+q+1)x_4}=q=\frac{x_1}{x_2}.$

б) По пункту а) отношение суммы равно $q$. Поэтому его куб равен $q^3$, а $\frac{x_1}{x_4}=\frac{q^3x_4}{x_4}=q^3$. Значит, равенство верно.

178. Докажите, что если \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{x_3}=\frac{x_3}{x_4}\), то: а) \(\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}=\frac{x_1}{x_2}\); б) \(\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}\right)^3=\frac{x_1}{x_4}\).