18. Дано: ∆ABC и ∆CBD, AB= CD, угол ABD равен углу CBD. Докажите, что AD=CD.

Доказательство:

В данном условии есть некоторая неточность, так как утверждается \( AB = CD \), но доказать нужно \( AD = CD \). Скорее всего, предполагалось доказать \( AD = BC \) или \( \triangle ABD = \triangle CBD \) при других условиях, или доказать \( AD = CD \) при \( AB = BC \).

Предположим, что в условии опечатка и должно быть \( AB = BC \). Тогда:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \).

Нам дано:

• \( AB = BC \) (предполагаемое условие)
• \( \angle ABD = \angle CBD \) (по условию)
• Сторона \( BD \) является общей для обоих треугольников.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае:

• Сторона \( AB = BC \)
• Сторона \( BD \) - общая
• Угол между ними \( \angle ABD = \angle CBD \)

Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle CBD \) по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AD = CD \).

Что и требовалось доказать (при условии AB=BC).

Если же условие \( AB = CD \) верно, то задача в её текущей формулировке некорректна.