18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы, проведенной из вершины прямого угла.

Решение:

Прямоугольный треугольник изображен на клетчатой бумаге. Предположим, что вершины прямого угла находятся в точках с координатами (0, 0), (a, 0) и (0, b), где \( a \) и \( b \) — количества клеток по горизонтали и вертикали соответственно.

Из рисунка видно, что катеты прямоугольного треугольника имеют длины 3 клетки и 4 клетки. Таким образом, \( a = 4 \) и \( b = 3 \).

Вершины треугольника имеют координаты: прямой угол в точке \( A = (0, 0) \), остальные вершины \( B = (4, 0) \) и \( C = (0, 3) \).

Медиана, проведенная из вершины прямого угла (A), соединяет эту вершину с серединой гипотенузы BC.

Найдем координаты середины гипотенузы BC. Пусть точка M — середина BC.

\( M = \left( \frac{4+0}{2}, \frac{0+3}{2} \right) = \left( 2, \frac{3}{2} \right) \).

Длина медианы AM равна расстоянию между точками A(0, 0) и M(2, 1.5).

\( AM = \sqrt{(2-0)^2 + (1.5-0)^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} \).

\( \sqrt{6.25} = 2.5 \).

Также, в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Найдем длину гипотенузы BC:

\( BC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \).

Длина медианы равна \( \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5 \).

Ответ: 2.5.