18 Найдите площадь четырёхугольника, изоб- ражённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ:

Решение:

Четырёхугольник разбит на клетки. Можно использовать метод подсчёта клеток или разбить четырёхугольник на простые фигуры (прямоугольные треугольники и прямоугольники).

Способ 1: Подсчёт клеток.

Визуально подсчитаем полные и частичные клетки:

Полные клетки: 8

Частичные клетки: 4 (каждая примерно 0.5 клетки)

Приблизительная площадь = 8 + 4 * 0.5 = 8 + 2 = 10.

Способ 2: Метод Пика (для многоугольников с вершинами в узлах сетки).

Формула Пика: \( S = I + \frac{B}{2} - 1 \), где \( I \) — число узлов внутри многоугольника, \( B \) — число узлов на границе многоугольника.

На границе (B): 12 узлов.

Внутри (I): 4 узла.

\( S = 4 + \frac{12}{2} - 1 = 4 + 6 - 1 = 9 \).

Способ 3: Разбиение на простые фигуры.

Разделим четырёхугольник на два треугольника диагональю. Одна диагональ проходит через 4 узла. Другая диагональ проходит через 3 узла.

Верхний треугольник: основание = 3 клетки, высота = 3 клетки. Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5 \) кв. см.

Нижний треугольник: основание = 3 клетки, высота = 3 клетки. Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5 \) кв. см.

Общая площадь = \( 4.5 + 4.5 = 9 \) кв. см.

Способ 4: Метод вычитания.

Опишем вокруг четырёхугольника прямоугольник. Сторона прямоугольника = 4 см, другая сторона = 4 см. Площадь прямоугольника = \( 4 \cdot 4 = 16 \) кв. см.

Площадь четырёхугольника = Площадь прямоугольника - Площадь 4-х внешних треугольников.

Треугольник 1: катеты 1 и 3. Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1.5 \).

Треугольник 2: катеты 1 и 3. Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1.5 \).

Треугольник 3: катеты 3 и 1. Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1.5 \).

Треугольник 4: катеты 3 и 1. Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1.5 \).

Сумма площадей треугольников = \( 1.5 \cdot 4 = 6 \) кв. см.

Площадь четырёхугольника = \( 16 - 6 = 10 \) кв. см.

Примечание: В зависимости от точного расположения вершин на сетке, результаты могут немного отличаться. По визуальной оценке и методу разбиения на фигуры, наиболее вероятным ответом является 10. Если использовать метод Пика, то 9. Однако, на изображении видно, что вершины находятся в узлах сетки.

Проведя точные линии на сетке, видно, что площадь равна 10. Одна диагональ соединяет точки (0,1) и (4,3), другая (1,4) и (3,0). Вершины: (0,1), (1,4), (4,3), (3,0).

Площадь по формуле с координатами: \( \frac{1}{2} |(x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + (x_3y_4 - y_3x_4) + (x_4y_1 - y_4x_1)| \)

\( = \frac{1}{2} |(0 · 4 - 1 · 1) + (1 · 3 - 4 · 4) + (4 · 0 - 3 · 3) + (3 · 1 - 0 · 0)| \)

\( = \frac{1}{2} |(-1) + (3 - 16) + (-9) + (3)| \)

\( = \frac{1}{2} |-1 - 13 - 9 + 3| \)

\( = \frac{1}{2} |-20| = 10 \).

Ответ: 15