16 В окружности с центром в точке О проведена хорда АВ так, что ∠AOB = 150°. Найдите радиус окружности, если AB = 2 cos 15°. Ответ:

Краткое пояснение:

Для решения задачи будем использовать теорему косинусов в треугольнике AOB, где OA и OB — радиусы окружности, а AB — хорда.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник AOB. По теореме косинусов для стороны AB имеем:
   \(AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \times OA \times OB \times \text{cos}(∠AOB)\).
2. Шаг 2: Поскольку OA и OB являются радиусами окружности, обозначим их как \(R\). Тогда \(OA = OB = R\). Запишем теорему косинусов:
   \(AB^2 = R^2 + R^2 - 2 \times R \times R \times \text{cos}(150^\circ)\)
   \(AB^2 = 2R^2 - 2R^2 \times \text{cos}(150^\circ)\).
3. Шаг 3: Значение \(\text{cos}(150^\circ)\) равно \(-\frac{√3}{2}\). Подставим это значение:
   \(AB^2 = 2R^2 - 2R^2 \times (-\frac{√3}{2})\)
   \(AB^2 = 2R^2 + R^2√3 = R^2(2 + √3)\).
4. Шаг 4: По условию задачи \(AB = 2 \text{cos}(15^\circ)\). Возведем это в квадрат:
   \(AB^2 = (2 \text{cos}(15^\circ))^2 = 4 \text{cos}^2(15^\circ)\).
5. Шаг 5: Приравняем выражения для \(AB^2\):
   \(R^2(2 + √3) = 4 \text{cos}^2(15^\circ)\).
6. Шаг 6: Используем формулу косинуса половинного угла: \(\text{cos}^2(\theta) = \frac{1 + \text{cos}(2\theta)}{2}\). Для \(15^\circ\), \(2\theta = 30^\circ\).
   \(\text{cos}^2(15^\circ) = \frac{1 + \text{cos}(30^\circ)}{2} = \frac{1 + \frac{√3}{2}}{2} = \frac{\frac{2+√3}{2}}{2} = \frac{2+√3}{4}\).
7. Шаг 7: Подставим значение \(\text{cos}^2(15^\circ)\) в уравнение:
   \(R^2(2 + √3) = 4 \times \frac{2+√3}{4}\)
   \(R^2(2 + √3) = 2 + √3\).
8. Шаг 8: Разделим обе части на \((2 + √3)\):
   \(R^2 = 1\).
9. Шаг 9: Найдем радиус \(R\), извлекая квадратный корень:
   \(R = √1 = 1\).

Ответ: 1