17 Вокруг окружности радиуса 1 описан параллелограмм, одна из диа-гоналей которого равна 2√2. Найдите площадь этого параллелограмма. Ответ:

Краткое пояснение:

Если параллелограмм описан вокруг окружности, то это должен быть ромб. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей или произведению стороны на высоту. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Параллелограмм, описанный около окружности, является ромбом.
2. Шаг 2: Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Радиус окружности равен 1, значит, диаметр равен 2. Высота ромба \(h = 2\).
3. Шаг 3: Площадь ромба вычисляется по формуле \(S = a \times h\), где \(a\) — сторона ромба, \(h\) — высота.
4. Шаг 4: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим диагонали как \(d_1\) и \(d_2\). По условию, одна из диагоналей равна \(2√2\). Пусть \(d_1 = 2√2\).
5. Шаг 5: По теореме Пифагора, для четверти ромба, образованной половинами диагоналей и стороной: \((\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2\).
   \((\frac{2√2}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2\)
   \((√2)^2 + \frac{d_2^2}{4} = a^2\)
   \(2 + \frac{d_2^2}{4} = a^2\).
6. Шаг 6: Площадь ромба также равна \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2\).
7. Шаг 7: Мы знаем, что \(h = 2\). Площадь ромба также может быть выражена как \(S = a \times h = 2a\).
8. Шаг 8: Приравняем два выражения для площади: \(\frac{1}{2} d_1 d_2 = 2a\)
   \(\frac{1}{2} (2√2) d_2 = 2a\)
   \(√2 d_2 = 2a\)
   \(d_2 = \frac{2a}{√2} = a√2\).
9. Шаг 9: Подставим \(d_2 = a√2\) в уравнение из Шага 5:
   \(2 + \frac{(a√2)^2}{4} = a^2\)
   \(2 + \frac{2a^2}{4} = a^2\)
   \(2 + \frac{a^2}{2} = a^2\).
10. Шаг 10: Решим уравнение относительно \(a^2\):
    \(2 = a^2 - \frac{a^2}{2}\)
    \(2 = \frac{a^2}{2}\)
    \(a^2 = 4\).
11. Шаг 11: Отсюда \(a = 2\).
12. Шаг 12: Теперь найдем площадь, используя \(S = 2a\).
    \(S = 2 \times 2 = 4\).

Ответ: 4