18. Решите уравнение: cos2x = sin(3π/2 - x).

Решение:

Используем тригонометрические тождества:

1. Преобразуем правую часть уравнения: \( \sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos(x) \).
2. Теперь уравнение выглядит так: \( \cos(2x) = -\cos(x) \).
3. Перенесем всё в одну сторону: \( \cos(2x) + \cos(x) = 0 \).
4. Применим формулу суммы косинусов: \( 2\cos(\frac{2x+x}{2})\cos(\frac{2x-x}{2}) = 0 \), что упрощается до \( 2\cos(\frac{3x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0 \).
5. Отсюда следует, что либо \( \cos(\frac{3x}{2}) = 0 \), либо \( \cos(\frac{x}{2}) = 0 \).
6. Решаем первое уравнение: \( \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Умножая на \( \frac{2}{3} \), получаем \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} \).
7. Решаем второе уравнение: \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Умножая на \( 2 \), получаем \( x = \pi + 2\pi k \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} \), \( x = \pi + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).