19. Найдите точку максимума для функции f(x) = 4x³- 108x + 50

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти первую производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем проверить знак второй производной или знак первой производной на интервалах.

1. Найдём первую производную функции \( f(x) \): \( f'(x) = (4x^3 - 108x + 50)' = 12x^2 - 108 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 12x^2 - 108 = 0 \).
3. Решим уравнение: \( 12x^2 = 108 \) \( x^2 = \frac{108}{12} \) \( x^2 = 9 \) \( x = \pm 3 \).
4. Найдем вторую производную: \( f''(x) = (12x^2 - 108)' = 24x \).
5. Проверим значение второй производной в критических точках:
• При \( x = 3 \): \( f''(3) = 24 × 3 = 72 \). Так как \( f''(3) > 0 \), то в точке \( x = 3 \) функция имеет минимум.
• При \( x = -3 \): \( f''(-3) = 24 × (-3) = -72 \). Так как \( f''(-3) < 0 \), то в точке \( x = -3 \) функция имеет максимум.

Ответ: -3.