20. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=a, x=b, осью абсцисс и графиком функции y=f(x), если а=1, b=5, f(x)=x² - x

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью абсцисс \( (y=0) \) и прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется с помощью определённого интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \)

В данном случае \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( f(x) = x^2 - x \).

Сначала определим, где функция \( f(x) \) принимает отрицательные значения на интервале \( [1, 5] \).

Найдем корни уравнения \( x^2 - x = 0 \):

\( x(x - 1) = 0 \)

Корни: \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

На интервале \( [1, 5] \), значение \( x^2 - x \) будет неотрицательным, так как парабола \( y = x^2 - x \) с ветвями вверх имеет корни 0 и 1, и вся она выше оси абсцисс правее \( x = 1 \).

Поэтому, \( |f(x)| = f(x) = x^2 - x \) на интервале \( [1, 5] \).

Теперь вычислим определённый интеграл:

\( S = \int_{1}^{5} (x^2 - x) dx \)

Найдём первообразную для \( x^2 - x \):

\( F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \)

Теперь вычислим значение определённого интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\( S = F(5) - F(1) \)

\( F(5) = \frac{5^3}{3} - \frac{5^2}{2} = \frac{125}{3} - \frac{25}{2} = \frac{125 \times 2 - 25 \times 3}{6} = \frac{250 - 75}{6} = \frac{175}{6} \)

\( F(1) = \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 - 1 \times 3}{6} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6} \)

\( S = \frac{175}{6} - (-\frac{1}{6}) = \frac{175}{6} + \frac{1}{6} = \frac{176}{6} \)

Упростим дробь:

\( \frac{176}{6} = \frac{88}{3} \)

\( \frac{88}{3} = 29 \frac{1}{3} \)

Ответ: \( \frac{88}{3} \) (или \( 29 \frac{1}{3} \))