18. Решите уравнение x⁴ – 5x² – 6 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 5y - 6 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \)

Найдем корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к замене \( x^2 = y \):

1. \( x^2 = y_1 = 6 \)
• \( x = \pm \sqrt{6} \)
2. \( x^2 = y_2 = -1 \)
• Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( x = \sqrt{6}, x = -\sqrt{6} \)