19. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость велосипедиста из А в В (км/ч), а \( t_1 \) — время в пути (ч).

Расстояние \( S = 60 \) км.

По условию:

\( S = v_1 \cdot t_1 \) \( \Rightarrow t_1 = \frac{60}{v_1} \) (1)

Скорость на обратном пути \( v_2 = v_1 + 10 \) км/ч.

Время на обратном пути \( t_2 \) включает время в пути и время остановки:

\( t_2 = \frac{S}{v_2} + 3 = \frac{60}{v_1 + 10} + 3 \)

По условию, время в пути из А в В равно времени на обратный путь:

\( t_1 = t_2 \)

\( \frac{60}{v_1} = \frac{60}{v_1 + 10} + 3 \)

Умножим обе части уравнения на \( v_1(v_1 + 10) \) для избавления от знаменателей:

\( 60(v_1 + 10) = 60v_1 + 3v_1(v_1 + 10) \)

\( 60v_1 + 600 = 60v_1 + 3v_1^2 + 30v_1 \)

\( 600 = 3v_1^2 + 30v_1 \)

Разделим на 3:

\( 200 = v_1^2 + 10v_1 \)

\( v_1^2 + 10v_1 - 200 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( v_1 \):

\( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{900} = 30 \)

Найдем корни для \( v_1 \):

\( v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

\( v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_1 = 10 \) км/ч.

Ответ: 10 км/ч