Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 20. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.Фото задания

Ответ:

Решение:

Дано: \( \angle A = 20° \), \( \angle C = 60° \) в \( \triangle ABC \). \( BH \) — высота, \( BD \) — биссектриса.

Найти: \( \angle HBD \).

  1. Найдем угол \( \angle B \) в \( \triangle ABC \):
    • \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 20° - 60° = 100° \)
  2. Найдем угол \( \angle ABD \) (угол, который биссектриса BD отсекает от угла B):
    • \( BD \) — биссектриса, значит, делит \( \angle B \) пополам:
    • \( \angle ABD = \frac{\angle B}{2} = \frac{100°}{2} = 50° \)
  3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABH \) (так как BH — высота, \( \angle BHA = 90° \)):
    • \( \angle ABH = \angle B - \angle ABD = 100° - 50° = 50° \)
    • В \( \triangle ABH \): \( \angle ABH = 100° - \angle A = 100° - 20° = 80° \)
    • *Ошибка в рассуждении. Правильно: \( \angle ABH \) — это часть угла \( \angle B \), которая прилегает к стороне \( AB \).
    • В прямоугольном \( \triangle ABH \), \( \angle BAH = 20° \) (это \( \angle A \)), \( \angle BHA = 90° \).
    • \( \angle ABH = 180° - 90° - 20° = 70° \).
    • *Еще одна ошибка. \( \angle ABH \) — это угол между высотой BH и стороной AB.
    • Угол \( \angle B \) треугольника ABC равен \( 100° \).
    • \( BH \) — высота, опущенная из \( B \) на \( AC \).
    • \( BD \) — биссектриса угла \( B \).
    • Рассмотрим \( \triangle ABH \): \( \angle BAH = 20° \), \( \angle BHA = 90° \).
    • \( \angle ABH = 180° - 90° - 20° = 70° \).
    • Теперь рассмотрим \( \triangle BHC \): \( \angle BCH = 60° \), \( \angle BHC = 90° \).
    • \( \angle HBC = 180° - 90° - 60° = 30° \).
    • Проверка: \( \angle ABH + \angle HBC = 70° + 30° = 100° \), что равно \( \angle B \).
    • Биссектриса \( BD \) делит \( \angle B \) пополам, то есть \( \angle ABD = \angle DBC = 50° \).
    • Угол между высотой \( BH \) и биссектрисой \( BD \) — это \( \angle HBD \).
    • \( \angle HBD = |\angle ABH - \angle ABD| \) или \( |\angle HBC - \angle DBC| \).
    • Используем \( \angle ABH = 70° \) и \( \angle ABD = 50° \):
    • \( \angle HBD = |70° - 50°| = 20° \).
    • Проверим, используя \( \angle HBC = 30° \) и \( \angle DBC = 50° \):
    • \( \angle HBD = |30° - 50°| = |-20°| = 20° \).

Ответ: 20°