18. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4:7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Пусть перпендикуляр пересекает гипотенузу в точке D, а катет BC в точке E. Пусть угол BAC равен \(\alpha\). Тогда угол ACB = 90 - \(\alpha\). Так как DE - серединный перпендикуляр, то DA = DC, следовательно, треугольник ADC - равнобедренный, и угол DAC = угол DCA, а значит, угол DAC тоже равен \(\alpha\). Следовательно, угол EDC равен 90 - \(\alpha\), так как треугольник EDC - прямоугольный. Так как отрезок из E делит угол ACB в отношении 4:7, пусть 4y это угол при катете, тогда 7y другой угол. Сумма этих двух углов равна углу ACB 90 - \(\alpha\). Получим 4y+7y=90-\(alpha\), то есть 11y = 90 - \(\alpha\). Но угол CED = \(90 - (90-\alpha) = \alpha\). Угол DEC = \(\alpha\). Угол BCE = 4y, а угол ECD = 7y. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180, то есть \(\alpha\) + 90 - \(\alpha\) + 90 = 180. 11y = 90 - \(\alpha\). Угол ACB делится в отношении 4:7, значит угол при катете составляет 4/11 от 90 - \(\alpha\). Пусть этот угол 4x, а другой 7x, тогда 11x = 90 - \(\alpha\). Угол BEC в треугольнике BEC = 180 - 90 - \(4/11(90 - \alpha)) = 90 - 4/11(90 - \alpha). Из треугольника CED: угол CED = \(\alpha\). Так как угол ACB = 4y + 7y = 11y, a 11y = 90 - \(\alpha\), то 4y = \(4/11(90 - \alpha)\) и 7y = \(7/11(90 - \alpha)\). Угол CED = \(\alpha\). В треугольнике CED: \(90 + \alpha\) + 7y = 180. 7y = 90 - \(\alpha\). И 11y = 90 - \(\alpha\). Значит, 7y + 4y = 90 - \(\alpha\). 11y = 90 - \(\alpha\) и 7y = 90 - \(\alpha\). В треугольнике EBC : угол EBC + угол BCE + угол BEC = 180. Угол BCE это 4x. Угол BEC = 180 - (90 + \(90-\alpha)\) = \(\alpha\). Тогда 4/11 * (90 - \(\alpha\)) = 4x. Из этого следует, что 11x = 90-\(alpha\). Рассмотрим треугольник CED. Угол ECD = 7x. Угол EDC = \(\alpha\). 7x + \(\alpha\) + 90 = 180, то есть 7x = 90 - \(\alpha\). По условию 4x + 7x = 90 - \(\alpha\) => 11x = 90 - \(\alpha\) => 7x = \(7/11\) (90 - \(\alpha\)). Подставим это в уравнение выше: \(7/11(90 - \alpha) = 90 - \alpha\). Так как условие 7x = 90 - \(\alpha\), и также 11x = 90 - \(\alpha\), то из 7x + \(\alpha\) = 90. Из 11x = 90 - \(\alpha\), получаем 11x + \(\alpha\) = 90. Сложив два уравнения, получим 18x = 180, x = 10. Из этого следует, что 7x = 70 градусов. Тогда \(\alpha\) = 90 - 70 = 20 градусов. Угол = 20 градусов. 11x = 90 - \(\alpha\) => 11x = 90 - 20 = 70. x=70/11. 4x = 280/11 и 7x = 490/11. Тогда угол ACB = 770/11, то есть 70 градусов. Но из условия 11x = 90 - \(\alpha\). 11x = 90 - 20 = 70. x=70/11. Угол ACB = 4x+7x=11x. Значит 11x = 70. 11x = 90 - \(\alpha\). 11x = 70. значит 70 = 90 - \(\alpha\). \(\alpha\) = 20. Угол = 20. Ответ: 20 градусов.