19.(3 балла) Найдите промежутки возрастания функции: f(x) = 2x³-3x²+5

Привет! Чтобы найти промежутки возрастания функции, нам нужно найти её первую производную, приравнять её к нулю, найти критические точки и посмотреть, где производная положительна.

1. Находим производную функции $$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5$$:
2. $$f'(x) = (2x^3)' - (3x^2)' + (5)'$$
3. $$f'(x) = 2 \times 3x^2 - 3 \times 2x + 0$$
4. $$f'(x) = 6x^2 - 6x$$
5. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
6. $$6x^2 - 6x = 0$$
7. $$6x(x - 1) = 0$$
8. Отсюда получаем два решения: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = 1$$.
9. Определяем знаки производной на интервалах:
10. На интервале $$(-\infty; 0)$$, возьмем, например, $$x = -1$$: $$f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0$$. Функция возрастает.
11. На интервале $$(0; 1)$$, возьмем, например, $$x = 0.5$$: $$f'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 < 0$$. Функция убывает.
12. На интервале $$(1; +\infty)$$, возьмем, например, $$x = 2$$: $$f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 > 0$$. Функция возрастает.

Вывод: Функция возрастает на интервалах, где производная положительна.

Ответ: $$(-\infty; 0]$$ и $$[1; +\infty)$$.