21.(3 балла) Решите систему уравнений: 3x + y =3 log 3(5x + 4y) = log3 (y+5)

Привет! Давай решим эту систему уравнений. Она состоит из линейного уравнения и логарифмического.

Система:

1. $$3x + y = 3$$
2. $$\log_3(5x + 4y) = \log_3(y+5)$$

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение.

Так как основания логарифмов одинаковые, можем приравнять выражения под ними:

$$5x + 4y = y + 5$$

Перенесем всё в одну сторону:

$$5x + 3y = 5$$

Теперь у нас есть новая система:

1. $$3x + y = 3$$
2. $$5x + 3y = 5$$

Шаг 2: Решим систему методом подстановки или сложения.

Давай используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим y:

$$y = 3 - 3x$$

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение:

$$5x + 3(3 - 3x) = 5$$

$$5x + 9 - 9x = 5$$

$$-4x = 5 - 9$$

$$-4x = -4$$

$$x = 1$$

Шаг 3: Найдем значение y.

Подставим найденное значение x = 1 в уравнение $$y = 3 - 3x$$:

$$y = 3 - 3(1)$$

$$y = 3 - 3$$

$$y = 0$$

Шаг 4: Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям логарифма.

Выражения под логарифмом должны быть положительными:

• $$5x + 4y > 0 \rightarrow 5(1) + 4(0) = 5 > 0$$. Верно.
• $$y + 5 > 0 \rightarrow 0 + 5 = 5 > 0$$. Верно.

Ответ: x = 1, y = 0.