22.(3балла) Найти все решения уравнения √3sinx + cos x = 0, принадлежащие промежутку[п; 3п]

Привет! Это тригонометрическое уравнение, которое можно решить, приведя его к виду $$\tan x = c$$. Давай сделаем это.

Уравнение: $$\sqrt{3}\sin x + \cos x = 0$$

1. Перенесем $$\cos x$$ в правую часть:
2. $$\sqrt{3}\sin x = -\cos x$$
3. Разделим обе части на $$\cos x$$ (учтем, что $$\cos x \neq 0$$. Если $$\cos x = 0$$, то $$\sin x = \pm 1$$, и тогда $$\sqrt{3}(\pm 1) = 0$$, что невозможно. Значит, $$\cos x \neq 0$$):
4. $$\frac{\sqrt{3}\sin x}{\cos x} = -1$$
5. $$\sqrt{3}\tan x = -1$$
6. Выразим $$\tan x$$:
7. $$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$
8. Найдем значения x, при которых $$\tan x = -1/\sqrt{3}$$:
9. Мы знаем, что $$\tan x = -1/\sqrt{3}$$ при $$x = -\frac{\pi}{6}$$.
10. Учтем периодичность тангенса (период $$\pi$$):
11. Общее решение: $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$$, где k — любое целое число.
12. Теперь найдем решения, принадлежащие промежутку $$[\pi; 3\pi]$$:
13. Подставим разные целые значения k и проверим, попадает ли результат в заданный промежуток.
14. Если k = 1: $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$$. Это меньше $$\pi$$, не подходит.
15. Если k = 2: $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$$. Это значение больше $$\pi$$ и меньше $$3\pi$$ ($$\frac{11\pi}{6} \approx 1.83\pi$$). Подходит.
16. Если k = 3: $$x = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6}$$. Это значение больше $$3\pi$$ ($$\frac{17\pi}{6} \approx 2.83\pi$$). Подходит.
17. Если k = 4: $$x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$$. Это больше $$3\pi$$, не подходит.

Ответ: $$\frac{11\pi}{6}$$ и $$\frac{17\pi}{6}$$.