20. (3 балла) Ромб со стороной 5 см и углом 60° вращается вокруг меньшей диагонали. Найдите объём тела вращения.

Привет! Эта задача немного сложнее, но мы справимся.

Что имеем:

• Ромб со стороной a = 5 см.
• Один из углов ромба 60°.
• Вращение происходит вокруг меньшей диагонали.

Что нужно найти: Объём тела вращения.

Шаг 1: Находим диагонали ромба.

Если угол ромба 60°, то другой угол будет 180° - 60° = 120°. Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов (120°), а большая — вершины острых (60°). Ромб, у которого есть угол 60°, состоит из двух равносторонних треугольников. Поэтому большая диагональ равна стороне ромба, то есть d₁ = 5 см.

Теперь найдем меньшую диагональ (d₂). Диагонали ромба делятся в точке пересечения пополам и перпендикулярны друг другу. Рассмотрим один из четырёх прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят ромб:

• Гипотенуза = сторона ромба = 5 см.
• Один катет = половина большей диагонали = 5/2 = 2.5 см.
• Второй катет = половина меньшей диагонали (назовем его x).

По теореме Пифагора: $$x^2 + (2.5)^2 = 5^2$$

$$x^2 + 6.25 = 25$$

$$x^2 = 18.75$$

$$x = \sqrt{18.75} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{\sqrt{75}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$$ см.

Тогда меньшая диагональ $$d₂ = 2x = 2 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$ см.

Шаг 2: Определяем тело вращения.

Когда ромб вращается вокруг своей меньшей диагонали (d₂ = 5√3 см), образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием. Радиусом основания этих конусов будет половина большей диагонали (r = 2.5 см), а высотами — половинки меньшей диагонали (h₁ = h₂ = 2.5 см). Однако, ромб вращается вокруг меньшей диагонали, поэтому высота конуса будет половина большей диагонали (r=2.5), а радиусом будет половина меньшей диагонали (h=2.5).

Повторим:

• Ромб вращается вокруг меньшей диагонали (5√3 см).
• Это значит, что ось вращения — это меньшая диагональ.
• Тело вращения состоит из двух конусов, склеенных основаниями.
• Радиус основания каждого конуса (r) — это половина большей диагонали ромба: $$r = \frac{5}{2} = 2.5$$ см.
• Высота каждого конуса (h) — это половина меньшей диагонали ромба: $$h = \frac{5\sqrt{3}}{2}$$ см.

Шаг 3: Находим объём.

Объём одного конуса: $$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

$$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi (2.5)^2 (\frac{5\sqrt{3}}{2})$$

$$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi (6.25) (\frac{5\sqrt{3}}{2})$$

$$V_{конуса} = \frac{31.25\sqrt{3}}{6}\pi$$ см³.

Поскольку у нас два таких конуса, общий объём будет:

$$V_{общий} = 2 \times V_{конуса} = 2 \times \frac{31.25\sqrt{3}}{6}\pi = \frac{31.25\sqrt{3}}{3}\pi$$ см³.

Можно записать 31.25 как 125/4:

$$V_{общий} = \frac{125\sqrt{3}}{12}\pi$$ см³.

Ответ: $$\frac{125\sqrt{3}}{12}\pi$$ см³.