19. Найдите четырёхзначное число, кратное 39, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Нам нужно найти четырёхзначное число, составленное из этих цифр (без повторений), которое делится на 39. Число делится на 39, если оно делится и на 3, и на 13.

1. Признак делимости на 3: Сумма цифр должна делиться на 3.
2. Признак делимости на 13: Можно использовать пробное деление или другие критерии.
3. Пробуем составить числа:
• Возьмём все доступные чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Сумма цифр: \(0+2+4+6+8 = 20\). 20 не делится на 3, значит, число, составленное из всех этих цифр, не будет делиться на 3.
• Нужно исключить одну цифру так, чтобы сумма оставшихся делилась на 3.
• Если исключить 8, сумма будет \(20 - 8 = 12\) (делится на 3). Цифры: 0, 2, 4, 6.
• Попробуем составить число из 0, 2, 4, 6. Например, 6420.
• Проверим делимость 6420 на 39:
• \(6420 \div 3 = 2140\) (делится на 3)
• \(6420 \div 13\):
  \(6420 = 13 \times 493 + 11\) (не делится на 13)
• Если исключить 2, сумма будет \(20 - 2 = 18\) (делится на 3). Цифры: 0, 4, 6, 8.
• Попробуем составить число из 0, 4, 6, 8. Например, 8640.
• Проверим делимость 8640 на 39:
• \(8640 \div 3 = 2880\) (делится на 3)
• \(8640 \div 13\):
  \(8640 = 13 \times 664 + 8\) (не делится на 13)
• Если исключить 0, сумма будет \(20 - 0 = 20\) (не делится на 3).
• Если исключить 4, сумма будет \(20 - 4 = 16\) (не делится на 3).
• Если исключить 6, сумма будет \(20 - 6 = 14\) (не делится на 3).
• Значит, мы должны использовать цифры 0, 2, 4, 6 или 0, 4, 6, 8, или 0, 2, 6, 8 (сумма 16) и т.д.
• Давайте рассмотрим набор цифр, из которых сумма делится на 3: 0, 2, 4, 6 (сумма 12).
• Попробуем перестановки: 6420, 6240, 4620, 4260, 2640, 2460.
• Проверим 4620: \(4620 / 39 = 118.46...\)
• Проверим 2640: \(2640 / 39 = 67.69...\)
• Рассмотрим набор цифр 0, 4, 6, 8 (сумма 18).
• Числа: 8640, 8460, 6840, 6480, 4860, 4680.
• Проверим 6840: \(6840 / 39 = 175.38...\)
• Рассмотрим набор цифр 0, 2, 6, 8 (сумма 16 - не делится на 3).
• Рассмотрим набор цифр 0, 2, 4, 8 (сумма 14 - не делится на 3).
• Рассмотрим набор цифр 2, 4, 6, 8 (сумма 20 - не делится на 3).
• Рассмотрим набор цифр 0, 2, 4, 6. Сумма 12.
• Попробуем число 8246 (цифры 8, 2, 4, 6 - все четные, различные). Сумма = 20. Не делится на 3.
• Попробуем число 8624 (цифры 8, 6, 2, 4 - все четные, различные). Сумма = 20. Не делится на 3.
• Попробуем число 6824 (цифры 6, 8, 2, 4 - все четные, различные). Сумма = 20. Не делится на 3.
• Попробуем число 4862 (цифры 4, 8, 6, 2 - все четные, различные). Сумма = 20. Не делится на 3.
• Набор цифр: 0, 2, 4, 6. Сумма 12.
• Число 6420. \(6420 / 39 = 164.61...\)
• Число 4620. \(4620 / 39 = 118.46...\)
• Число 4260. \(4260 / 39 = 109.23...\)
• Число 2460. \(2460 / 39 = 63.07...\)
• Число 2640. \(2640 / 39 = 67.69...\)
• Число 6240. \(6240 / 39 = 160\).
• 6240 - четырёхзначное, все цифры (6, 2, 4, 0) различны и чётны. Сумма цифр \(6+2+4+0 = 12\), делится на 3. \(6240 / 13 = 480\). Значит, 6240 делится на 39.

Ответ: 6240