19. Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 1640, но меньшее 1930, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Условие:

• Число четырехзначное.
• Число находится в диапазоне (1640; 1930).
• Все цифры различны и не равны нулю.
• Число делится на каждую свою цифру.

Анализ:

Число начинается на 1. Следующая цифра может быть 6, 7, 8, 9.

Рассмотрим варианты:

1. Начинается на 16xx:
• Цифры должны быть различными, не ноль, и число должно быть больше 1640.
• Возможные цифры: 1, 6, и две другие.
• Если число 16xy, то x и y должны быть различными и не равны 1, 6, 0.
• Проверим числа от 1641 до 1929.
• Число 164x: Цифры 1, 6, 4, x. x не может быть 1, 6, 4, 0. x может быть 2, 3, 5, 7, 8, 9.
• 1642: не делится на 2, 4.
• 1643: не делится на 3.
• 1645: не делится на 5.
• 1647: не делится на 7.
• 1648: не делится на 8.
• 1649: не делится на 9.
• Число 167x: Цифры 1, 6, 7, x. x не может быть 1, 6, 7, 0. x может быть 2, 3, 4, 5, 8, 9.
• 1672: не делится на 2, 7.
• 1673: не делится на 3, 7.
• 1674: не делится на 4, 7.
• 1675: не делится на 5, 7.
• 1678: не делится на 8, 7.
• 1679: не делится на 9, 7.
• Число 168x: Цифры 1, 6, 8, x. x не может быть 1, 6, 8, 0. x может быть 2, 3, 4, 5, 7, 9.
• 1682: не делится на 2, 8.
• 1683: не делится на 3, 8.
• 1684: не делится на 4, 8.
• 1685: не делится на 5, 8.
• 1687: не делится на 7, 8.
• 1689: не делится на 9, 8.
• Число 169x: Цифры 1, 6, 9, x. x не может быть 1, 6, 9, 0. x может быть 2, 3, 4, 5, 7, 8.
• 1692: не делится на 2, 9.
• 1693: не делится на 3, 9.
• 1694: не делится на 4, 9.
• 1695: не делится на 5, 9.
• 1697: не делится на 7, 9.
• 1698: не делится на 8, 9.
2. Число 17xx:
3. Число 172x: Цифры 1, 7, 2, x. x не может быть 1, 7, 2, 0. x может быть 3, 4, 5, 6, 8, 9.
• 1723: не делится на 3.
• 1724: не делится на 4.
• 1725: не делится на 5.
• 1726: не делится на 6.
• 1728: не делится на 8.
• 1729: не делится на 9.
4. Число 174x: Цифры 1, 7, 4, x. x не может быть 1, 7, 4, 0. x может быть 2, 3, 5, 6, 8, 9.
• 1742: не делится на 2.
• 1743: не делится на 3.
• 1745: не делится на 5.
• 1746: не делится на 6.
• 1748: не делится на 8.
• 1749: не делится на 9.
5. Число 176x: Цифры 1, 7, 6, x. x не может быть 1, 7, 6, 0. x может быть 2, 3, 4, 5, 8, 9.
• 1762: не делится на 2.
• 1763: не делится на 3.
• 1764: не делится на 4.
• 1765: не делится на 5.
• 1768: не делится на 8.
• 1769: не делится на 9.
6. Число 178x: Цифры 1, 7, 8, x. x не может быть 1, 7, 8, 0. x может быть 2, 3, 4, 5, 6, 9.
• 1782: не делится на 2.
• 1783: не делится на 3.
• 1784: не делится на 4.
• 1785: не делится на 5.
• 1786: не делится на 6.
• 1789: не делится на 9.
7. Число 179x: Цифры 1, 7, 9, x. x не может быть 1, 7, 9, 0. x может быть 2, 3, 4, 5, 6, 8.
• 1792: не делится на 2.
• 1793: не делится на 3.
• 1794: не делится на 4.
• 1795: не делится на 5.
• 1796: не делится на 6.
• 1798: не делится на 8.
8. Число 18xx:
9. Число 182x: Цифры 1, 8, 2, x. x не может быть 1, 8, 2, 0. x может быть 3, 4, 5, 6, 7, 9.
• 1823: не делится на 3.
• 1824: не делится на 4.
• 1825: не делится на 5.
• 1826: не делится на 6.
• 1827: не делится на 7.
• 1829: не делится на 9.
10. Число 183x: Цифры 1, 8, 3, x. x не может быть 1, 8, 3, 0. x может быть 2, 4, 5, 6, 7, 9.
• 1832: не делится на 2.
• 1834: не делится на 4.
• 1835: не делится на 5.
• 1836: не делится на 6.
• 1837: не делится на 7.
• 1839: не делится на 9.
11. Число 184x: Цифры 1, 8, 4, x. x не может быть 1, 8, 4, 0. x может быть 2, 3, 5, 6, 7, 9.
• 1842: не делится на 2.
• 1843: не делится на 3.
• 1845: не делится на 5.
• 1846: не делится на 6.
• 1847: не делится на 7.
• 1849: не делится на 9.
12. Число 186x: Цифры 1, 8, 6, x. x не может быть 1, 8, 6, 0. x может быть 2, 3, 4, 5, 7, 9.
• 1862: не делится на 2.
• 1863: не делится на 3.
• 1864: не делится на 4.
• 1865: не делится на 5.
• 1867: не делится на 7.
• 1869: не делится на 9.
13. Число 187x: Цифры 1, 8, 7, x. x не может быть 1, 8, 7, 0. x может быть 2, 3, 4, 5, 6, 9.
• 1872: не делится на 2.
• 1873: не делится на 3.
• 1874: не делится на 4.
• 1875: не делится на 5.
• 1876: не делится на 6.
• 1879: не делится на 9.
14. Число 189x: Цифры 1, 8, 9, x. x не может быть 1, 8, 9, 0. x может быть 2, 3, 4, 5, 6, 7.
• 1892: не делится на 2.
• 1893: не делится на 3.
• 1894: не делится на 4.
• 1895: не делится на 5.
• 1896: не делится на 6.
• 1897: не делится на 7.
15. Число 19xx:
16. Число 192x: Цифры 1, 9, 2, x. x не может быть 1, 9, 2, 0. x может быть 3, 4, 5, 6, 7, 8.
• 1923: не делится на 3.
• 1924: не делится на 4.
• 1925: не делится на 5.
• 1926: не делится на 6.
• 1927: не делится на 7.
• 1928: не делится на 8.

Поиск продолжается...

Проверим числа, где цифры идут в порядке возрастания или убывания, что часто встречается в таких задачах.

Рассмотрим число 1728:

• Число 1728. Цифры: 1, 7, 2, 8. Все различны, не равны нулю.
• 1728 > 1640.
• 1728 < 1930.
• Делится ли на каждую цифру?
• 1728 / 1 = 1728
• 1728 / 7 = 246.85... (Не делится)

Рассмотрим число 1896:

• Число 1896. Цифры: 1, 8, 9, 6. Все различны, не равны нулю.
• 1896 > 1640.
• 1896 < 1930.
• Делится ли на каждую цифру?
• 1896 / 1 = 1896
• 1896 / 8 = 237
• 1896 / 9 = 210.66... (Не делится)

Попробуем число 1764:

• Число 1764. Цифры: 1, 7, 6, 4. Все различны, не равны нулю.
• 1764 > 1640.
• 1764 < 1930.
• Делится ли на каждую цифру?
• 1764 / 1 = 1764
• 1764 / 7 = 252
• 1764 / 6 = 294
• 1764 / 4 = 441

Число 1764 удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 1764