19. Найдите корни уравнения: \(\frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x}\).

Решение:

Приведём уравнение к общему знаменателю \( x(x+1)(x-2) \). Учтём, что \( x \neq 0 \), \( x \neq -1 \), \( x \neq 2 \).

\[ \frac{21x(x-2)}{x(x+1)(x-2)} = \frac{16x(x+1)}{x(x+1)(x-2)} - \frac{6(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)} \]

Умножим обе части на общий знаменатель \( x(x+1)(x-2) \):

\[ 21x(x-2) = 16x(x+1) - 6(x+1)(x-2) \]

Раскроем скобки:

\[ 21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6(x^2 - 2x + x - 2) \]\[ 21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6(x^2 - x - 2) \]\[ 21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6x^2 + 6x + 12 \]

Приведём подобные члены в правой части:

\[ 21x^2 - 42x = 10x^2 + 22x + 12 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ 21x^2 - 10x^2 - 42x - 22x - 12 = 0 \]\[ 11x^2 - 64x - 12 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: \( a = 11 \), \( b = -64 \), \( c = -12 \).

Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)

\[ D = (-64)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-12) \]\[ D = 4096 + 528 \]\[ D = 4624 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{4624} = 68 \)

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 68}{2 \cdot 11} = \frac{132}{22} = 6 \]

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 68}{2 \cdot 11} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} \)

Оба корня \( x = 6 \) и \( x = -2/11 \) не равны 0, -1 и 2, следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: x₁ = 6, x₂ = -2/11.