19. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка и в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 45 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Пусть через \(t\) часов после выезда первого велосипедиста третий догнал второго. Тогда третий ехал \(t-2\) часов, а второй — \(t-1\) часов:

\(v(t-2)=10(t-1)\). Первый велосипедист был догнан через ещё 2 ч 45 мин = 2,75 ч, поэтому:

\(v(t+0.75)=12(t+2.75)\).

Из первого уравнения:

\(v=\frac{10(t-1)}{t-2}\).

Подставим во второе:

\(\frac{10(t-1)}{t-2}(t+0.75)=12(t+2.75)\).

После преобразований получаем:

\(4t^2+23t-117=0\), откуда \(t=3.25\) ч.

Тогда скорость третьего велосипедиста:

\(v=\frac{10(3.25-1)}{3.25-2}=18\) км/ч.

Ответ: 18 км/ч.