19 Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 9 и на 10 даёт равные ненулевые остатки, а первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. Если таких чисел несколько, в ответе укажите наибольшее из них. Ответ:

Решение:

Пусть искомое трёхзначное число равно \( \overline{abc} \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — цифры, причём \( a \neq 0 \).

Условие того, что число при делении на 9 и на 10 даёт равные ненулевые остатки, означает, что остаток от деления на 10 равен \( c \), а остаток от деления на 9 равен сумме цифр \( a + b + c \) по модулю 9. Так как остатки равны и ненулевые, то \( c \in \{1, 2, ..., 9} \) и \( a + b + c \) должно давать такой же остаток при делении на 9, как и \( c \) при делении на 10. Это значит, что \( a + b \) должно делиться на 9. Возможные значения для \( a + b \) (так как \( a \in \{1, ..., 9} \) и \( b \in \{0, ..., 9} \)): 9 или 18.

Условие, что первая цифра является средним арифметическим двух других: \( a = \frac{b + c}{2} \), или \( 2a = b + c \).

Теперь рассмотрим возможные случаи для \( a + b \):

Случай 1: \( a + b = 9 \)

• Из \( 2a = b + c \) следует \( b = 2a - c \).
• Подставим \( b \) в \( a + b = 9 \): \( a + (2a - c) = 9 \Rightarrow 3a - c = 9 \Rightarrow c = 3a - 9 \).
• Так как \( c \) — цифра, \( 0 \le c \le 9 \).
• Если \( a = 4 \), то \( c = 3(4) - 9 = 12 - 9 = 3 \). Тогда \( b = 9 - a = 9 - 4 = 5 \). Число: \( 453 \). Проверка: \( 453 = 50 \times 9 + 3 \) (остаток 3), \( 453 = 45 \times 10 + 3 \) (остаток 3). \( a = 4 \), \( \frac{b+c}{2} = \frac{5+3}{2} = 4 \). Условие выполнено.
• Если \( a = 5 \), то \( c = 3(5) - 9 = 15 - 9 = 6 \). Тогда \( b = 9 - a = 9 - 5 = 4 \). Число: \( 546 \). Проверка: \( 546 = 60 \times 9 + 6 \) (остаток 6), \( 546 = 54 \times 10 + 6 \) (остаток 6). \( a = 5 \), \( \frac{b+c}{2} = \frac{4+6}{2} = 5 \). Условие выполнено.
• Если \( a = 6 \), то \( c = 3(6) - 9 = 18 - 9 = 9 \). Тогда \( b = 9 - a = 9 - 6 = 3 \). Число: \( 639 \). Проверка: \( 639 = 71 \times 9 + 0 \) (остаток 0). Условие ненулевого остатка не выполнено.

Случай 2: \( a + b = 18 \)

• Так как \( a \le 9 \) и \( b \le 9 \), то \( a = 9 \) и \( b = 9 \).
• Из \( 2a = b + c \) следует \( 2(9) = 9 + c \Rightarrow 18 = 9 + c \Rightarrow c = 9 \).
• Число: \( 999 \). Проверка: \( 999 = 111 \times 9 + 0 \) (остаток 0). Условие ненулевого остатка не выполнено.

У нас есть два числа, удовлетворяющих условиям: 453 и 546. Наибольшее из них — 546.

Ответ: 546