21 На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 22 без пропусков и повторений: 1, 2, 3, ..., 22. Петя играет в арифметическую игру: за один ход он выбирает два из написанных на доске чисел и записывает на доске модуль их разности, увеличенный на 2, а сами выбранные числа стирает. Так он продолжает до тех пор, пока на доске не останется только одно число. Какое наименьшее число в результате таких действий Пети может остаться на доске? Ответ:

Решение:

На доске изначально находятся числа от 1 до 22. Всего 22 числа.

За один ход Петя выбирает два числа, например \( a \) и \( b \), стирает их и записывает \( |a - b| + 2 \). Количество чисел на доске уменьшается на 1 за ход.

Так как изначально было 22 числа, а в конце останется одно, Петя сделает \( 22 - 1 = 21 \) ход.

Рассмотрим, как изменяется сумма чисел на доске. Пусть на доске были числа \( S = \sum_{i=1}^{22} i = \frac{22 \times 23}{2} = 11 \times 23 = 253 \).

После одного хода сумма чисел изменится с \( S \) на \( S - a - b + (|a - b| + 2) \).

Изменение суммы равно \( -a - b + |a - b| + 2 \).

Рассмотрим два случая:

1. Если \( a \ge b \), то \( |a - b| = a - b \). Изменение равно \( -a - b + (a - b) + 2 = -2b + 2 \).
2. Если \( a < b \), то \( |a - b| = b - a \). Изменение равно \( -a - b + (b - a) + 2 = -2a + 2 \).

В обоих случаях изменение суммы равно \( 2 - 2 \times \text{меньшее из чисел} \). Это означает, что изменение суммы является чётным числом.

Исходная сумма чисел равна 253 (нечётное число).

После каждого хода сумма чисел на доске изменяется на чётное число. Нечётное число плюс чётное число равно нечётному числу. Следовательно, сумма чисел на доске всегда остаётся нечётной.

В конце останется одно число. Это число и будет итоговой суммой. Так как сумма должна быть нечётной, то итоговое число должно быть нечётным.

Нам нужно найти наименьшее возможное число, которое может остаться. Наименьшее нечётное натуральное число — это 1.

Можем ли мы получить 1? Рассмотрим пример:

Возьмём числа 1 и 2. Записываем \( |1 - 2| + 2 = 1 + 2 = 3 \). На доске теперь числа от 3 до 22, и 1, 2 стёрты. Сумма изменилась на \( -1 - 2 + 3 = 0 \) (чётное изменение).

Можно ли подобрать такую последовательность ходов, чтобы в итоге получить 1?

Рассмотрим парность чисел. Изначально у нас 11 чётных и 11 нечётных чисел.

Операция: \( |a - b| + 2 \).

Рассмотрим чётность результата:

• Если \( a \) и \( b \) оба чётные, \( a - b \) — чётное. \( |a - b| + 2 \) — чётное.
• Если \( a \) и \( b \) оба нечётные, \( a - b \) — чётное. \( |a - b| + 2 \) — чётное.
• Если \( a \) — чётное, \( b \) — нечётное, \( a - b \) — нечётное. \( |a - b| + 2 \) — нечётное.

В каждом ходе количество нечётных чисел либо уменьшается на 2 (когда два нечётных числа превращаются в чётное), либо остаётся прежним (когда два чётных превращаются в чётное), либо уменьшается на 0 (когда чётное и нечётное дают нечётное). То есть, чётность количества нечётных чисел сохраняется.

Изначально у нас 11 нечётных чисел (нечётное количество).

Значит, в конце, когда останется одно число, это число должно быть нечётным.

Минимальное возможное нечётное число, которое можно получить — это 1.

Чтобы получить 1, нужно, чтобы в последнем шаге мы имели два числа \( a \) и \( b \) таких, что \( |a - b| + 2 = 1 \). Это невозможно, так как \( |a - b| \ge 0 \), поэтому \( |a - b| + 2 \ge 2 \).

Значит, наименьшее возможное число — это 2. Но мы показали, что сумма всегда нечётная, значит, последнее число должно быть нечётным. Следовательно, наименьшее возможное число — 1.

Проверим, возможно ли получить 1. Нам нужно, чтобы в последнем шаге получилась 1. Это невозможно, потому что \( |a - b| + 2 \ge 2 \).

Возможно, я неправильно понял задачу или есть тонкость.

Пересмотрим изменение суммы: \( S_{new} = S_{old} - a - b + |a - b| + 2 \).

\( S_{new} - S_{old} = -a - b + |a - b| + 2 \).

Если \( a \ge b \), \( S_{new} - S_{old} = -a - b + a - b + 2 = -2b + 2 \).

Если \( a < b \), \( S_{new} - S_{old} = -a - b + b - a + 2 = -2a + 2 \).

В любом случае, \( S_{new} - S_{old} = 2 - 2 \times \min(a, b) \). Это всегда чётное число.

\( S_{initial} = 253 \) (нечётное).

\( S_{final} = S_{initial} + \text{сумма чётных изменений} \).

\( S_{final} \) должно быть нечётным.

Значит, последнее оставшееся число должно быть нечётным.

Какое наименьшее нечётное число мы можем получить? Проверим, можно ли получить 1.

Для этого нам нужно, чтобы \( |a - b| + 2 = 1 \), что невозможно, так как \( |a - b| ≥ 0 \).

Попробуем получить 3. Для этого нам нужно, чтобы \( |a - b| + 2 = 3 \), значит \( |a - b| = 1 \). Это возможно, например, если взять числа 1 и 2. Тогда \( |1 - 2| + 2 = 1 + 2 = 3 \).

Таким образом, мы можем получить 3.

Можем ли мы получить 1? Нет, потому что \( |a - b| + 2 \ge 2 \).

Значит, наименьшее возможное число — это 2. Но сумма остаётся нечётной, значит, число должно быть нечётным.

Ещё раз: \( |a - b| + 2 \). Если \( a \) и \( b \) имеют разную чётность, \( |a - b| \) — нечётное. \( |a - b| + 2 \) — нечётное. Количество нечётных чисел уменьшается на 0 (одно нечётное исчезло, одно нечётное появилось).

Если \( a \) и \( b \) имеют одинаковую чётность, \( |a - b| \) — чётное. \( |a - b| + 2 \) — чётное. Количество нечётных чисел уменьшается на 2 (два нечётных исчезли, появилось чётное).

Изначально 11 нечётных чисел. Количество нечётных чисел всегда остаётся нечётным.

Значит, последнее число должно быть нечётным.

Минимальное значение, которое может быть получено: \( |a - b| + 2 \). Минимальное \( |a - b| \) равно 0 (если \( a = b \)). Но числа стираются, так что \( a \neq b \) на первом шаге. Наименьшее \( |a - b| \) равно 1 (например, 1 и 2).

Если \( |a - b| = 1 \), то \( |a - b| + 2 = 3 \).

Если \( |a - b| = 0 \) (в случае, если мы можем выбрать одинаковые числа, что не допускается по условию «выбирает два ... числа»), то \( 0 + 2 = 2 \).

Поскольку \( a
e b \) на каждом шаге, \( |a - b| ≥ 1 \). Значит, \( |a - b| + 2 ≥ 1 + 2 = 3 \).

Следовательно, наименьшее возможное число, которое может остаться, равно 3.

Ответ: 3