19. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(6\sqrt{2}\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Обозначим радиус основания через \(r\). Высота конуса равна высоте цилиндра, то есть \(r\). Тогда образующая конуса \(l=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt2\).

Боковая площадь цилиндра: \(2\pi r\cdot r=2\pi r^2=6\sqrt2\), откуда \(\pi r^2=3\sqrt2\).

Боковая площадь конуса: \(\pi rl=\pi r^2\sqrt2=3\sqrt2\cdot\sqrt2=6\).

Ответ: 6.