198. Докажите, что средняя линия DE треугольника ABC (точки D и E принадлежат сторонам AB и BC соответственно) и его медиана BM точкой пересечения делятся пополам.

Так как DE — средняя линия, D и E — середины AB и BC, а DE параллельна AC. Медиана BM проведена к стороне AC, поэтому M — середина AC.

Пусть P — точка пересечения DE и BM. Треугольники BDE и BAC подобны с коэффициентом 1/2: DE соответствует AC, а BD и BE равны половинам BA и BC. При этом середина AC, точка M, соответствует середине DE. Следовательно, P — середина DE, то есть DP = PE.

Из подобия также следует, что BP = BM/2. Так как P лежит на BM, получаем PM = BM − BP = BM/2, значит BP = PM.

Следовательно, точка пересечения делит пополам и DE, и BM.