19В. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (т. е. за четыре года)?

Пусть первоначальная сумма кредита равна \(S\). Годовой коэффициент увеличения долга равен \(q=1.125=\dfrac{9}{8}\).

1. Первый платёж вносится после первого начисления процентов, поэтому его вклад в погашение первоначального долга равен \(\dfrac{2\,132\,325}{q}\). Аналогично для последующих платежей.
2. Следовательно, \(S=2\,132\,325\left(\dfrac1q+\dfrac1{q^2}+\dfrac1{q^3}+\dfrac1{q^4}\right)\).
3. Сумма коэффициентов равна \(\dfrac{8}{9}+\dfrac{64}{81}+\dfrac{512}{729}+\dfrac{4096}{6561}=\dfrac{19\,720}{6561}\). Тогда \(S=2\,132\,325\cdot\dfrac{19\,720}{6561}=325\cdot19\,720=6\,409\,000\).

Ответ: 6 409 000 рублей.