2. (1,5 б) Порівняйте числа 0,75⁴ і \(\sqrt[6]{0,74}\)

Порівняння чисел

Порівняємо числа \( 0.75^4 \) і \( \sqrt[6]{0.74} \).

Запишемо \( 0.75^4 \) у вигляді кореня шостого степеня:

\[ 0.75^4 = (0.75^4)^{\frac{1}{6} \cdot 6} = (0.75^{4 \cdot \frac{1}{6}})^6 = (0.75^{\frac{2}{3}})^6 = \sqrt[6]{0.75^{\frac{2}{3}}} \]

Тепер порівняємо два числа під коренем шостого степеня: \( 0.75^{\frac{2}{3}} \) і \( 0.74 \).

Обчислимо \( 0.75^{\frac{2}{3}} \):

\[ 0.75^{\frac{2}{3}} = (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(\frac{3}{4})^2} = \sqrt[3]{\frac{9}{16}} \]

Визначимо, яке число більше: \( \sqrt[3]{\frac{9}{16}} \) чи \( 0.74 = \frac{37}{50} \).

Піднесемо обидва числа до кубу:

\[ (\sqrt[3]{\frac{9}{16}})^3 = \frac{9}{16} = 0.5625 \]

\[ (0.74)^3 = 0.405224 \]

Оскільки \( 0.5625 > 0.405224 \), то \( \sqrt[3]{\frac{9}{16}} > 0.74 \), а отже, \( 0.75^4 > \sqrt[6]{0.74} \).

Відповідь: \( 0.75^4 > \sqrt[6]{0.74} \).