5. (1,5 б) Розв'яжіть рівняння \(\sqrt{5x + 1} = 1 - x\)

Розв'язання рівняння

Розв'яжемо рівняння \( \sqrt{5x + 1} = 1 - x \).

Спочатку накладемо обмеження:

1. Підкореневий вираз має бути невід'ємним: \( 5x + 1 \ge 0 \) \( \implies 5x \ge -1 \) \( \implies x \ge -0.2 \).
2. Права частина рівняння має бути невід'ємною, оскільки ліва частина (корінь) є невід'ємною: \( 1 - x \ge 0 \) \( \implies 1 \ge x \) \( \implies x \le 1 \).

Отже, \( -0.2 \le x \le 1 \).

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

\[ (\sqrt{5x + 1})^2 = (1 - x)^2 \]

\[ 5x + 1 = 1 - 2x + x^2 \]

Перенесемо всі члени в праву частину:

\[ x^2 - 2x - 5x + 1 - 1 = 0 \]

\[ x^2 - 7x = 0 \]

Винесемо \(x\) за дужки:

\[ x(x - 7) = 0 \]

Звідси маємо два можливих корені:

\[ x_1 = 0 \]

\[ x_2 = 7 \]

Перевіримо корені на відповідність накладеним обмеженням \( -0.2 \le x \le 1 \).

• \( x_1 = 0 \) задовольняє обмеженню \( -0.2 \le 0 \le 1 \).
• \( x_2 = 7 \) не задовольняє обмеженню \( x \le 1 \).

Отже, єдиним коренем рівняння є \( x = 0 \).

Відповідь: \( x = 0 \).