2. (17 баллов) Найдите все целые значения р, при которых выражение (2p³ + p² - p + 6) / (2p - 1) принимает целое значение.

Для того чтобы выражение принимало целые значения, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель нацело. Можно применить деление многочленов столбиком, либо заметить, что выражение можно преобразовать следующим образом:

1. (2p³ + p² - p + 6) / (2p - 1) = (2p³ - p² + 2p² - p + 6) / (2p - 1) = (p²(2p-1) + 2p² - p + 6) / (2p-1) = p² + (2p² - p + 6) / (2p - 1)
2. (2p² - p + 6) / (2p - 1) = (2p² - p + 6 - (2p-1)/2 + (2p-1)/2) / (2p - 1) = (2p² - p + 6 - p + 1/2 + p -1/2 )/ (2p -1)
=(2p² - p + 6 - p + 1/2 + p -1/2 )/ (2p -1)= (p(2p-1) + 6 -p +1/2 + p -1/2) / (2p-1) = p +(6)/(2p-1)

Итоговое выражение : p² + p + 6/(2p-1)

Для того чтобы это выражение принимало целые значения, необходимо чтобы 6 / (2p-1) было целым числом.
Значит, (2p - 1) должен быть делителем числа 6, то есть принимает значения из множества { -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 }.

Рассмотрим все варианты:
1. 2p-1 = -6 => 2p = -5 => p = -2.5 (не целое)
2. 2p-1 = -3 => 2p = -2 => p = -1 (целое)
3. 2p-1 = -2 => 2p = -1 => p = -0.5 (не целое)
4. 2p-1 = -1 => 2p = 0 => p = 0 (целое)
5. 2p-1 = 1 => 2p = 2 => p = 1 (целое)
6. 2p-1 = 2 => 2p = 3 => p = 1.5 (не целое)
7. 2p-1 = 3 => 2p = 4 => p = 2 (целое)
8. 2p-1 = 6 => 2p = 7 => p = 3.5 (не целое)

Таким образом, целые значения p, при которых выражение принимает целое значение, это p = { -1, 0, 1, 2 }.