3. (17 баллов) В треугольнике две стороны равны 6 и 8. Медианы, проведённые к этим сторонам взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону треугольника.

Пусть треугольник ABC, где AB = 6, AC = 8. Медианы BD и CE перпендикулярны. Пусть O - точка их пересечения.

Свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, BO = 2/3 BD и OD = 1/3 BD, CO = 2/3 CE и OE = 1/3 CE.

Треугольник BOC - прямоугольный, так как медианы перпендикулярны. Тогда, по теореме Пифагора:
BC² = BO² + CO²
Пусть BD = m_b, CE = m_c
BO = (2/3)m_b, CO = (2/3)m_c
BC² = (4/9)m_b² + (4/9)m_c²

Формулы для медиан:
m_b² = (2AC² + 2BC² - AB²)/4
m_c² = (2AB² + 2BC² - AC²)/4

Подставим значения сторон: AB = 6, AC = 8
m_b² = (2*64 + 2BC² - 36)/4 = (128 + 2BC² - 36)/4 = (92 + 2BC²)/4
m_c² = (2*36 + 2BC² - 64)/4 = (72 + 2BC² - 64)/4 = (8 + 2BC²)/4

BC² = (4/9) * ((92 + 2BC²)/4) + (4/9) * ((8 + 2BC²)/4)
BC² = (1/9) * (92 + 2BC² + 8 + 2BC²)
BC² = (1/9) * (100 + 4BC²)
9BC² = 100 + 4BC²
5BC² = 100
BC² = 20
BC = sqrt(20) = 2*sqrt(5)

BC = sqrt(20)

Ошибка в вычислениях.

Треугольник BOC - прямоугольный, так как медианы перпендикулярны. Тогда, по теореме Пифагора:
BC² = BO² + CO²
Пусть BD = m_b, CE = m_c
BO = (2/3)m_b, CO = (2/3)m_c
BC² = (4/9)m_b² + (4/9)m_c²

Формулы для медиан:
m_b² = (2AC² + 2BC² - AB²)/4
m_c² = (2AB² + 2BC² - AC²)/4

Подставим значения сторон: AB = 6, AC = 8
4 * m_b² = 2 * 8² + 2 * BC² - 6² => 4 * m_b² = 128 + 2BC² - 36 => 4 * m_b² = 92 + 2BC²
4 * m_c² = 2 * 6² + 2 * BC² - 8² => 4 * m_c² = 72 + 2BC² - 64 => 4 * m_c² = 8 + 2BC²

(9/4)BC² = m_b² + m_c² = (92 + 2BC²)/4 + (8 + 2BC²)/4
9BC² = 100 + 4BC²
5BC² = 100
BC² = 20
BC = sqrt(20) = 2 * sqrt(5)
Ответ: 2 * sqrt(5)