2.23. Найдите в данных примерах ошибки и исправьте их: 1) a¹ · a³ = a¹²; 2) a · a = 2a; 3) (a³)² = a⁹; 4) 3² · 5² = 15¹; 5) 2² · 7³ = 14⁵; 6) (2a)¹ = 8a¹; 7) 8 · 4³ = 12³; 8) a³b² = (ab)¹; 9) a³b² = (ab)⁶.

Используем свойства степеней: при умножении одинаковых оснований показатели складываются; при возведении степени в степень показатели перемножаются; \(a^n b^n=(ab)^n\), если показатели одинаковы.

1. Ошибка: показатели сложены неверно. \(a^1\cdot a^3=a^{1+3}=a^4\).
2. Ошибка: одинаковые множители перемножаются. \(a\cdot a=a^2\).
3. Ошибка: показатели нужно перемножить. \((a^3)^2=a^{3\cdot2}=a^6\).
4. Ошибка: общий показатель сохраняется. \(3^2\cdot5^2=(3\cdot5)^2=15^2\).
5. Показатели множителей различны, объединить их в одну степень нельзя. Вычисляем: \(2^2\cdot7^3=4\cdot343=1372\).
6. Ошибка: \((2a)^1=2a\), а не \(8a^1\).
7. Ошибка: основание при умножении не складывают. \(8\cdot4^3=8\cdot64=512\).
8. Показатели у \(a\) и \(b\) различны, поэтому равенство неверно; правильное произведение остаётся \(a^3b^2\).
9. Ошибка: при одинаковом показателе степени основания перемножаются, но здесь показатели различны. Правильная запись: \(a^3b^2\); объединить в \((ab)^6\) нельзя.