3. Докажите, изучив пример 4 и его решение. Пример 4. Сравните значения выражений: 1) (−11)¹⁴ · (−11)³ и (−11)¹⁷. Заметим, что (−11)¹⁴ · (−11)³ = (−11)¹⁷. Значит, что (−11)¹⁷ < 0. Вычислите: 1) (−11)¹⁶ > 0. Сравните: (−11)¹⁴ · (−11)³ < (−11)¹⁵; 2) (−12)¹⁰ · (−12)¹⁵; 3) 16⁹ и 65²; 4) 10³ и 6⁵.

1) По правилу умножения степеней с одинаковым основанием: \((-11)^{14}\cdot(-11)^3=(-11)^{17}\). Степень отрицательного числа с нечётным показателем отрицательна, поэтому \((-11)^{17}<0\). При этом \((-11)^{16}>0\), так как показатель чётный. Следовательно, \((-11)^{14}\cdot(-11)^3<(-11)^{16}\).

2) \((-12)^{10}\cdot(-12)^{15}=(-12)^{25}\). Степень с нечётным показателем отрицательна, значит \((-12)^{10}\cdot(-12)^{15}<0\).

3) \(16^9=(2^4)^9=2^{36}\), а \(65^2=4225\). Так как \(2^{12}=4096<4225\), то \(2^{36}=(2^{12})^3<4225^3\), но это сравнение не устанавливает порядок относительно 4225. Напрямую, \(16^9=68\,719\,476\,736\), тогда как \(65^2=4225\). Поэтому \(16^9>65^2\).

4) \(10^3=1000\), \(6^5=7776\), следовательно, \(10^3<6^5\).

Ответ: 1) \((-11)^{14}\cdot(-11)^3<(-11)^{16}\); 2) произведение меньше 0; 3) \(16^9>65^2\); 4) \(10^3<6^5\).