2.29. Найдите НОД (A, B), если: а) A = x³ − 2x² + 2x − 1, B = x³ − x² + 1; б) A = x³ − 2x² + 2x − 1, B = x³ − 1; в) A = x⁵ − x⁴ − x³ − 2x² − x, B = x⁵ − x⁴ + x³ − x; г) A = x⁴ − 5x³ + 7x² − 3x, B = x² − 4x + 3.

Ищем общий делитель многочленов; НОД записываем с коэффициентом 1.

а) Разложим \(A=(x-1)(x^2-x+1)\). При делении \(B\) на \(x-1\) остаток равен \(B(1)=1\). Для второго множителя используем соотношение \(x^2-x+1=0\), откуда \(x^3=-1\): остаток многочлена \(B=x^3-x^2+1\) равен \(-1-(x-1)+1=1-x\). Многочлен \(x^2-x+1\) не делит \(1-x\), поэтому общих множителей нет. НОД равен 1.

б) \(A=(x-1)(x^2-x+1)\), а \(B=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\). Общий множитель \(x-1\); квадратичные множители различны и взаимно просты. НОД равен \(x-1\).

в) Вынесем \(x\): \(A=xP\), \(B=xQ\), где \(P=x^4-x^3-x^2-2x-1\), \(Q=x^4-x^3+x^2-1\). Разность \(Q-P=2x(x+1)\). При этом \(P(0)=-1\) и \(P(-1)=2\), поэтому \(P\) не имеет общих множителей с \(x(x+1)\). Следовательно, \(P\) и \(Q\) взаимно просты, а НОД исходных многочленов равен \(x\).

г) \(A=x(x-1)^2(x-3)\), а \(B=(x-1)(x-3)\). Значит, НОД равен \((x-1)(x-3)=x^2-4x+3\).

Ответ: а) 1; б) \(x-1\); в) \(x\); г) \(x^2-4x+3\).