2.32. Найдите многочлен A, для которого верно равенство: а) x¹² − 1 = (x⁴ − 1)·A; б) x¹² − 1 = (x² + 1)·A; в) x¹² − 1 = (x² − 1)·A; г) x¹² − 1 = (x + 1)·A; д) x¹² − 1 = (x − 1)·A; е) x⁵ − 32 = (x − 2)·A; ж) x⁶ − 64 = (x − 2)·A; з) x⁷ − 128 = (x − 2)·A.

Question

Вопрос:

Фото задания

2.32. Найдите многочлен A, для которого верно равенство: а) x¹² − 1 = (x⁴ − 1)·A; б) x¹² − 1 = (x² + 1)·A; в) x¹² − 1 = (x² − 1)·A; г) x¹² − 1 = (x + 1)·A; д) x¹² − 1 = (x − 1)·A; е) x⁵ − 32 = (x − 2)·A; ж) x⁶ − 64 = (x − 2)·A; з) x⁷ − 128 = (x − 2)·A.

Accepted Answer

Используем формулы разности степеней и тождество \(u^n-v^n=(u-v)(u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots+v^{n-1})\).

а) \(x^{12}-1=(x^4-1)(x^8+x^4+1)\), поэтому \(A=x^8+x^4+1\).

б) При делении \(x^{12}-1\) на \(x^2+1\) получаем чередующуюся сумму: \(A=x^{10}-x^8+x^6-x^4+x^2-1\).

в) \(x^{12}-1=(x^2-1)(x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1)\), поэтому \(A=x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1\).

г) \(x^{12}-1=(x+1)(x^{11}-x^{10}+x^9-x^8+x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)\).

д) \(x^{12}-1=(x-1)(x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)\).

е) \(x^5-32=x^5-2^5=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)\).

ж) \(x^6-64=x^6-2^6=(x-2)(x^5+2x^4+4x^3+8x^2+16x+32)\).

з) \(x^7-128=x^7-2^7=(x-2)(x^6+2x^5+4x^4+8x^3+16x^2+32x+64)\).

Ответ: а) \(x^8+x^4+1\); б) \(x^{10}-x^8+x^6-x^4+x^2-1\); в) \(x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1\); г) \(x^{11}-x^{10}+x^9-x^8+x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x-1\); д) \(x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\); е) \(x^4+2x^3+4x^2+8x+16\); ж) \(x^5+2x^4+4x^3+8x^2+16x+32\); з) \(x^6+2x^5+4x^4+8x^3+16x^2+32x+64\).