2.31. Докажите, что дробь несократима: а) (x⁴ + 1)/(x³ + 1); б) (x³ + 9)/(x² − 1).

Дробь несократима, если числитель и знаменатель не имеют общих многочленных множителей степени больше нуля.

а) Разложим знаменатель: \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\). При делении числителя \(x^4+1\) на \(x^3+1\) остаток равен \(1-x\), поскольку \(x^3\equiv-1\), а значит, \(x^4\equiv-x\). Общий делитель мог бы делить и \(1-x\), но знаменатель при \(x=1\) равен 2, поэтому \(x-1\) его не делит. Следовательно, НОД числителя и знаменателя равен 1.

б) \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Числитель при \(x=1\) равен 10, а при \(x=-1\) равен 8. Значит, ни \(x-1\), ни \(x+1\) не делят числитель, и общих множителей нет.

Ответ: обе дроби несократимы.