2.457. Точки, делящие сторону треугольника на n равных частей, соединены отрезками с противоположной вершиной. Докажите, что при этом треугольник также разделился на n равновеликих частей.

Пусть точки на стороне BC делят её на n равных отрезков, а каждый из этих отрезков соединён с противоположной вершиной A. Обозначим точки деления подряд через M₀, M₁, …, Mₙ, где M₀ = B и Mₙ = C.

Получившиеся треугольники ABM₁, AM₁M₂, …, AMₙ₋₁C имеют равные основания на прямой BC: каждое основание равно BC/n. У всех этих треугольников одна и та же высота, опущенная из A на BC. Поэтому их площади равны.

Ответ: треугольник разделён на n равновеликих частей.